亥姆霍茲分解
/ HELM-holts /
每一個向量場，無論多麼糾纏，都能分裂成兩個乾淨的部分：一個只散開（有散度但無旋度），一個只旋轉（有旋度但無散度）。想像把一張風場圖分成兩部分：一部分從源向外流、向匯流入，加上一部分純粹在渦旋中環流。亥姆霍茲分解就是這樣一個定理：這種分裂總是存在，並精確地確定每一部分究竟是什麼。
確切地說，在適當的衰減條件下，向量場 F 可以寫成 F = -grad phi + curl A，即一個無旋（無旋度）部分 -grad phi 與一個無源（無散度）部分 curl A 之和。第一部分由純量勢 phi 構成，承載 F 的全部散度（因為梯度的旋度為零）；第二部分由向量勢 A 構成，承載全部旋度（因為旋度的散度為零）。實際上，F 的散度與 F 的旋度合在一起——即源與旋轉——幾乎完全決定了 F，只剩下邊界或遠場數據需要確定。
這個分解正是散度與旋度恰是值得研究的那兩個量的原因：它們正是重建一個場所需的數據。在流體力學中，它把流動分成勢（無旋）流加上攜帶渦量的部分，這是空氣動力學的核心。在電磁學中，它是把磁場寫成 B = curl A、把靜電場寫成 E = -grad phi 的基礎，也是馬克士威方程組——它規定了 E 與 B 的散度和旋度——足以決定場的結構性原因。兩個偉大的定理（散度定理與斯托克斯定理）分別支配這兩半。
徑向場 (x, y, z) 是純無旋的：它的旋度為零，所以它的全部內容都在 -grad phi 這一部分（取 phi = -(x^2 + y^2 + z^2)/2）。旋轉場 (-y, x, 0) 是純無源的：它的散度為零，所以它完全在 curl A 這一部分。大多數真實的場是這兩者真正的混合。
兩個極端的場，一個全是散開、一個全是旋轉；一般的場則混合了兩部分。
只有在固定了邊界或衰減條件之後，這個分解才唯一：在無界空間中，你需要場在無窮遠處足夠快地衰減；在有界區域上，你總能加上一個調和場（既無旋又無源的場）而不改變 div F 或 curl F，所以若無額外條件，這個分裂並不唯一。