概形（scheme）

流形是一個局部看起來像普通歐氏空間的空間，即便整體上它是球面或環面那樣彎曲而複雜的東西。概形是代數幾何的對應物：一個局部看起來像仿射概形 Spec R、由許多這類仿射小塊沿開子集黏合而成的空間。這單一定義統一了數論與幾何、能處理任意環上的方程，並承載古典簇根本無法記錄的無窮小與算術資訊。

精確地說，概形是一個容許被仿射概形開覆蓋的局部賦環空間 (X, O_X)：每點都有開鄰域 U，使 (U, O_X 限制到 U) 對某環 R 同構於 (Spec R, O_{Spec R})。你構築概形的方式，恰如構築流形——取仿射圖卡 Spec R_i，沿開子集的同構把它們黏起來，唯一的約束是三重重疊上的上閉鏈相容性。概形的態射就是局部賦環空間的態射；這是正確的概念，因為莖上的局部條件（極大理想送到極大理想）使代數與幾何相符。標準的形容詞使圖像更鋭利：概形是約化的，當其環無非零冪零元；是整的，當其約化且不可約（諸環為整環）；是諾特的，當其被諾特環的 Spec 覆蓋；而人們幾乎總是研究有限型態射與分離概形（豪斯多夫的對應物）。

概形是現代代數幾何與算術的通用語言。射影空間 P^n、各種模空間、Spec Z 上的算術曲面，以及每個簇，都是概形；這套框架給出乾淨的纖維積、基變換與統一的上同調理論。若干誠實的告誡把概形與簇區分開來。概形可以是「非」約化的——結構層可能含冪零元，編碼如「雙重點」Spec k[x]/(x^2) 這樣的無窮小增厚，它作為集合不可見，作為概形卻真實存在。概形未必定義在代數封閉的域上，甚至未必定義在域上（Spec Z 就是概形），所以簇層級的零點定理不主宰它。又，概形的札里斯基拓樸粗糙且通常非豪斯多夫，帶有泛點；以豪斯多夫流形訓練出的直覺必須調整。概形真正的內涵棲身於其結構層，而非其底層拓樸空間。