環的素譜（spectrum of a ring）
古典代數幾何研究多項式方程的解集，而在代數封閉域上，這些解對應於座標環的極大理想。格羅滕迪克的革命性一著，是取「任意」交換環 R，直接由它製造出一個幾何空間，所用的不僅是它的極大理想，而是它的「全部」素理想作為點。所得的 Spec R 是「環的萬有空間」：每個交換環，無論多抽象——整數 Z、多項式環、帶冪零元的環——都成為一個你能在其上做拓樸與層論的幾何對象。
精確地說，素譜 Spec R 是 R 全部素理想 p 的集合，藉札里斯基拓樸而成為拓樸空間：閉集是 V(I) = {含理想 I 的素理想}，每個理想 I 對應一個。等價地，開集由特異開集 D(f) = {不含 f 的素理想} 生成，f 取遍 R 的元素；D(f) 是「函數 f 非零」之處。Spec R 的一個點是一個素理想，你把它想成一個（可能很胖的）子簇：極大理想是古典的閉點，而像整環中 (0) 這樣的非極大素理想是泛點，其閉包是整個空間。R 的每個元素 f 被重新詮釋為 Spec R 上的函數：它在素理想 p 處的「值」是它在剩餘域 k(p) = Frac(R/p) 中的像，而 f 在 p 處為零恰當 f 落在 p 內。此構造是反變函子性的：環映射 R -> S 經由把素理想拉回而誘導連續映射 Spec S -> Spec R。
Spec R 是整個概形論的基石——每個概形都由形如 Spec R 的小塊黏成——而它看得見古典簇看不見的結構。因為點是素理想而非僅極大理想，Spec R 擁有泛點與真正的不可約分量概念（極小素理想 p 的 V(p)）。因為 R 可帶冪零元，Spec R 能承載在底層集合上不可見的無窮小增厚。兩個誠實的告誡：其一，札里斯基拓樸極為粗糙、幾乎從不豪斯多夫——泛點是稠密的，所以「點彼此靠近」是常態而非例外。其二，R 的元素「不是」普通函數：它在不同點的值可以落在不同的域裡（Z 在素理想 (p) 處有 F_p 值的行為、在 (0) 處有 Q 值的行為），所以「f 作為 Spec R 上的函數」是一個其陪域逐點變化的函數。
整數的素譜 Spec Z，對每個質數 2, 3, 5, ... 各有一個點 (p)——這些是閉點，剩餘域為 F_p——再加上泛點 (0)，剩餘域為 Q，其閉包是整個 Spec Z。整數 n 視為函數時，在點 (p) 處的「值」是 n mod p：所以 6 在 (2) 與 (3) 處為零。這正是數論成為幾何的精確涵義。
Spec Z：每個質數一個閉點（剩餘域 F_p），外加一個稠密泛點 (0)，剩餘域為 Q。
Spec R 的點是「素」理想，不只是極大理想，所以存在泛（非閉）點；其拓樸鮮少豪斯多夫。而 R 的元素是一個「函數」，其值在不同點落入不同的剩餘域。