函子觀點（functor of points）

當概形被定義為由諸素譜黏成的局部賦環空間時，它的「點」是素理想——一個相當令人卻步且僵硬的概念。函子觀點提供了一條截然不同、往往更直觀的途徑來理解概形 X：與其問「X 的點是什麼？」，不如問「從其餘每個概形「映入」X 的映射是什麼？」。所有這類映射的全體，組織成一個函子，便完全決定了 X，且常常比素理想更貼合「方程之解」的素樸想法。

精確地說，概形 X 給出一個從概形到集合的反變函子 h_X，把每個概形 T 送到全部從 T 到 X 之態射的集合 h_X(T) = Hom(T, X)，稱為 X 的 T 值點。依米田引理，此函子完全記住 X：X 由 h_X 還原（至多差一同構），而態射 X -> Y 等同於自然變換 h_X -> h_Y。當 X = Spec A 為仿射且 T = Spec R 為仿射時，反等價使 T 值點變得具體：Hom(Spec R, Spec A) = Hom_環(A, R)，即環同態 A -> R。所以由多項式 f_1, ..., f_m 所截出之概形的 R 點，恰恰是那些多項式以 R 中座標的聯立解——「點」的初等涵義被還原，但如今可同時落在「每個」環 R 中。凡以此方式產生（同構於某 h_X）的、從環到集合的函子，稱為可表示的，由 X 表示。

這觀點是模空間理論與現代代數幾何的實務核心：人們藉寫下函子「T 上這類對象的族」來定義一個幾何對象的空間（給定虧格的曲線、向量叢、子概形），再問它是否由某概形可表示。它也釐清了額外結構——群概形不過是其函子觀點落在群裡的概形，如 GL_n，其 GL_n(R) = R 上可逆的 n 乘 n 矩陣。兩個誠實的告誡。其一，你必須讓 T 取遍「所有」概形（或所有環），而非僅取域：限於 k 點會丟失資訊，尤其非約化 T 中的冪零元正是偵測切向量與無窮小形變之物——對偶數 k[epsilon]/(epsilon^2) 探測切空間。其二，並非每個函子都可表示；許多自然的模函子唯有在擴大範疇後（到代數空間或疊）才可表示，所以「寫下函子」本身並不保證有概形存在。