札里斯基切空間（Zariski tangent space）
/ zuh-RISS-kee /
在空間中的光滑曲面上，每一點都有一個切平面——最佳的平坦近似。札里斯基切空間是那個切平面的純代數版本，對任何簇的任何點，僅用座標環定義，不涉微積分或極限。在光滑點處它恰好恢復你期待的切平面；在奇異點處，如兩條直線的交叉或尖點的尖端，它太大了，而那份多餘正是奇異性的代數印記。
固定簇 X 上一點 p，配有局部環 O_{X,p} 與在 p 處為零之函數所成的極大理想 m。札里斯基切空間定義為對偶向量空間 T_p X = (m / m^2)*，是剩餘域 k 上的向量空間。商 m / m^2 是餘切空間：m 收集在 p 處為零的函數，而模掉 m^2 丟棄了二階及更高項，恰好留下線性部分——微分。切向量於是是一個導子，即服從萊布尼茲法則、作用於函數上的線性泛函。具體地，對 A^n 中的 X = V(f_1, ..., f_r)，在 p 處的切空間是雅可比矩陣 (partial f_i / partial x_j) 在 p 處取值的核：線性化方程的解空間，恰恰是古典的切平面。
札里斯基切空間是「不離開代數即區分光滑與奇異」的工具。點 p 為光滑（非奇異）恰好在 dim T_p X 等於 X 的維數時；它為奇異則在切空間嚴格更大時，而這恰好發生在雅可比矩陣降秩之處。在兩條相交直線的結點處，切空間是 2 維的，儘管曲線是 1 維的；在尖點處它也太大。提醒：dim T_p X 永遠至少為 dim X，且只能在奇異軌跡上躍升，但僅憑切空間讀出幾何可能誤導——尖點與結點有相同的切空間維數，卻是不同的奇異點，需由切空間看不見的高階資料區分。
對於結點三次曲線 y^2 = x^3 + x^2，在原點處雅可比 (partial f) = (-3x^2 - 2x, 2y) 在 (0,0) 處為零，故切空間是整個 2 維平面，而曲線是 1 維的。不相符 dim T_p = 2 > 1 = dim X 證明原點是奇異點。
光滑意味著切空間維數等於簇的維數；奇異點的切空間太大。
切空間維數能偵測奇異性，卻無法分類它：結點與尖點可以有相同的札里斯基切空間，卻是不等價的奇異點，需由高階（jet）資料分開。