克魯爾維數（Krull dimension）
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我們說曲線是一維、曲面是二維、整個空間是三維。克魯爾維數把這種計數變得純代數，方法是測量你能把不可約形狀彼此巢狀嵌套多少次，每一個都嚴格小於前一個。一個點坐落於一條曲線中、曲線坐落於一個曲面中、曲面坐落於一個立體中——最長的這種鏈就是維數。
幾何上，不可約簇 X 的維數是使得存在不可約閉子簇鏈 X_0 嚴格含於 X_1 嚴格含於 ... 嚴格含於 X_d = X（每個真包含前一個）的最大 d。透過座標環翻譯，不可約閉集對應素理想，故這與 k[X] 中最長的素理想鏈 p_0 嚴格含於 p_1 嚴格含於 ... 嚴格含於 p_d 相同——而那個長度恰恰是該環的克魯爾維數。對域上的簇，另兩種描述也一致：維數等於函數域 k(X) 在 k 上的超越次數，並（在光滑點處）等於札里斯基切空間的維數。故「數巢狀子簇」「數巢狀素理想」「數函數域所需的獨立座標」都給出同一個數。
維數是簇最基本的不變量，也是從交截理論（餘維數計數方程）到光滑判據（切空間有正確維數）一切事物的骨幹。兩個誠實的提醒。第一，維數在各分量上是局部的：可約簇可以有不同維數的分量，而「維數」取最大值，故務必詢問簇是否為純維數。第二，克魯爾維數、超越次數與切空間維數的一致是「域上有限生成代數」的定理；對一般諾特環，這幾者可以分道揚鑣，克魯爾維數甚至可以是無窮的。
仿射 3 空間 A^3 維數為 3，由鏈 {點} 含於 {直線} 含於 {平面} 含於 A^3 見證，並與 k[x, y, z] 中素理想鏈 (x, y, z) 含於 (x, y) 含於 (x) 含於 (0) 相符。k(x, y, z) 在 k 上的超越次數也是 3——三個獨立座標。
同一個維數以子簇鏈、素理想鏈與超越次數三種面貌出現。
克魯爾維數、k(X) 的超越次數與切空間維數的相等，對域上有限生成代數成立，且最後一者僅在光滑點處；在奇異點上切空間嚴格更大。