座標環（coordinate ring）
幾何與代數是同一事物的兩種觀點，而座標環正是把一個簇變成可計算之代數的裝置。給定一個簇，它的座標環是其上所有多項式函數所成的環——你從所有多項式出發，然後把「在簇的每個點上都相等」的兩個多項式宣告為相等，所得到的就是它。簇的形狀完全編碼在此環的代數結構中。
對於 A^n 中理想為 I(X) 的仿射簇 X，座標環是商環 k[X] = k[x_1, ..., x_n] / I(X)。它的元素是限制在 X 上的多項式，兩個多項式恰好在相差一個屬於 I(X) 的東西（即在整個 X 上為零的函數）時被視為同一。因為 I(X) 是根理想，k[X] 是約化環（無非零冪零元）；它也是有限生成的 k 代數。這套辭典緊密且反變：X 的點對應 k[X] 的極大理想；不可約閉子簇對應素理想；X 不可約恰好等於 I(X) 為素，等價於 k[X] 為整環。簇的態射 X -> Y 反向對應到 k 代數同態 k[Y] -> k[X]。
這個反等價——一邊是仿射簇，另一邊是約化的有限生成 k 代數——是整個學科的引擎。它讓你把幾何問題換成環論問題再換回來。維數變成環的克魯爾維數，光滑性變成一個正則條件，而躍向概形只需在代數那一邊單純地允許任意交換環（包括非約化的）。提醒：這個乾淨的故事是針對仿射簇的。射影簇的齊次座標環是分次的且依賴所選嵌入，且它唯一真正的整體函數只有常數，故座標環在射影情形下並非正確的不變量——那裡你要局部地工作並使用函數域。
對於 A^2 中的拋物線 X = V(y - x^2)，座標環是 k[x, y] / (y - x^2)。因為 y 被迫等於 x^2，每個函數都化約為僅含 x 的多項式，故 k[X] 同構於 k[x]：拋物線作為抽象簇，不過是偽裝的仿射直線。
座標環看見的是內蘊的簇，而非嵌入：拋物線與直線有同構的座標環。
乾淨的「仿射簇／代數」辭典需要代數封閉域上的約化、有限生成代數。對射影簇而言，齊次座標環依賴嵌入，並非內蘊不變量。