概形的纖維積（fiber product of schemes）

每當你有兩個概形 X 與 Y 都映到一個共同的基概形 S，你會想造它們「相對於 S 的積」——那個同時記住 X 的一點與 Y 的一點、且兩者落在 S 的「同一」點之上的概形。這就是纖維積 X times_S Y。它是關聯概形最有用的單一構造：交集、映射的纖維、到新基環的基變換，以及普通的積，全都從同一道萬有的配方造出。

精確地說，給定態射 f: X -> S 與 g: Y -> S，纖維積是一個概形 X times_S Y，配有兩個與 f, g 相容、投到 X 與 Y 的投影，並由一個萬有性質刻畫：任何配有到 X 與到 Y、且降到 S 後一致之映射的概形 T，都唯一地透過 X times_S Y 分解。存在性歸結到仿射情形，那裡純屬代數：若 X = Spec B, Y = Spec C, S = Spec A，則 X times_S Y = Spec(B tensor_A C)，即環在 A 上張量積的素譜。一般情形由這些仿射小塊黏成。兩個特例主導著實務。取 S = Spec Z（或終概形）得到絕對積 X times Y。取 Y = Spec k(s) -> S 為 S 的單點 s，得到態射 f 在 s 之上的「纖維」X_s = f^{-1}(s) 及其自然的概形結構——這正是此名稱的幾何涵義。

纖維積是研究概形之族的方式：態射 f: X -> S 被視為一族由 S 參數化的概形（它的纖維 X_s），而沿 S' -> S 的基變換產生新的族 X times_S S'。把基域由 k 換到更大的域是基變換；把 Z 上的算術概形對質數 p 取模，就是在 Spec Z 中 (p) 之上的纖維。一個誰都會踩到的誠實告誡：域上的纖維積可能出乎意料地表現，因為張量積 B tensor_k C 即便 B, C 都很好，仍可能帶冪零元或不約化。經典的例子是 Spec C tensor_R Spec C：在實數上，C tensor_R C 同構於 C x C，所以單點概形在 R 上與自身的「纖維積」是「兩」點，而非一點。集合論的纖維不等於概形論的纖維；X times_S Y 的結構層確實取決於環論的張量積，連同其冪零元。