極小曲面（minimal surface）
把彎曲的鐵絲圈浸入肥皂水再拉出來：橫跨鐵圈的膜會把自己繃緊成在該邊界下所能擁有的最小面積。你得到的那些優雅、常呈鞍形的薄片就是極小曲面。它們是大自然回答「以這個邊框為界、面積最小的曲面是什麼？」的方式，並出現在任何曲面想在均勻張力下縮小自己之處。
精確地說，極小曲面是其平均曲率處處為零的曲面：H = (k_1 + k_2)/2 = 0，等價於處處 k_1 = -k_2。所以在每一點，曲面在一個主方向向上彎的量恰等於在垂直方向向下彎的量——每一點都是平衡的鞍（或平的）。這正是使曲面成為面積臨界點的條件：若你固定邊界擾動一個極小曲面，面積到一階為止不變。（這就是為什麼 H = 0 自然得名「極小」，雖然嚴格說它只意味面積駐定，未必最小——見提醒。）由於 k_1 = -k_2，高斯曲率 K = k_1*k_2 = -k_1^2 恆小於或等於零，所以極小曲面在每一點都是鞍形或平的，絕不像圓頂。
極小曲面坐落於幾何、分析與物理的交叉口。它們模擬肥皂膜與繃緊的薄膜，啟發了經典的「普拉托問題」（給定封閉曲線是否總有面積最小的曲面橫跨其上？——是，由道格拉斯與拉多證明），而像螺旋面、懸鏈面與科斯塔曲面這些現代例子則是該領域的里程碑。兩個誠實的提醒。其一，H = 0 表示面積駐定，並不保證最小——一片極小曲面只有夠小才真正使面積最小；大片可能不穩定，像肥皂膜突然彈成另一形狀。其二，極小曲面並非平坦：平面是平凡例子，但有趣的那些（懸鏈面、螺旋面）彎曲豐富，K < 0——「極小」指面積，絕不指曲率為零。
懸鏈面是把懸鏈線（懸掛鏈條的曲線）繞軸旋轉得到的曲面；它是橫跨兩個平行圓環的肥皂膜。它每一點的兩個主曲率恰好相反，k_1 = -k_2，故 H = 0——它是極小的——而 K = -k_1^2 < 0，所以處處鞍形。螺旋面（螺旋斜坡，像一條水平線沿軸旋轉上升掃出的螺旋樓梯）是另一個極小曲面；值得注意的是，懸鏈面與螺旋面可以互相彎曲而不拉伸。
懸鏈面：兩環之間的肥皂膜，處處 H = 0 卻 K < 0。
H = 0 表示面積駐定，未必最小。一片大的極小曲面可能不穩定——微小擾動就能降低其面積——正如兩環間過長的肥皂膜在環被拉得太遠時會塌陷。「極小」對「面積臨界點」而言是個略有誤導的名稱。