正則曲面（regular surface）
想想橘子皮、肥皂泡的表面，或馬背上的鞍。湊近看，每一處都像一張微微彎曲的紙——在任一點上你都能貼一小塊平面瓷磚而不留縫隙或摺痕。正則曲面就是這個想法的精確版本：一個坐落在普通三維空間中的二維形狀，處處光滑，沒有尖邊、沒有角、也沒有任何穿過自己或被掐成一點的地方。
以下是可操作的定義。空間中的子集 S 是正則曲面，若在 S 的每一點附近，都能找到一小片區域，以及一個映射 x(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，把 (u, v) 平面上的一塊平坦區域映到該片上，並滿足三件事：(1) 此映射是光滑的（可以任意多次微分）；(2) 它是到該片上的同胚（把平坦區域彎到 S 上而不撕裂、不黏合，且逆映射連續）；(3) 在每一點，兩個偏導向量 x_u 與 x_v 線性獨立——等價地說，它們的外積 x_u x x_v 永不為零向量。條件 (3) 正是「正則性」：它保證這一片確實有兩個獨立方向，從而展開成真正的二維薄片，而不是塌成一條線或一點。
為什麼要堅持這一切？因為正則性正是讓微積分能在曲面上運作的條件——它是通往切平面、法向量、面積與曲率良好定義的入場券。圓錐 z = sqrt(x^2 + y^2) 是個警示例子：除了頂點外它是個好形狀，但在頂點處 x_u x x_v 退化，所以頂點不是正則點，連同頂點的圓錐並非正則曲面。球面、平面、環面（甜甜圈表面）與圓柱面都是正則曲面。一個誠實的細節：單一片通常無法覆蓋整個彎曲曲面——球面至少需要兩片——所以定義只要求每一點附近有一片，這些片互相重疊以覆蓋整體。
單位球面 S^2：所有滿足 x^2 + y^2 + z^2 = 1 的點。在「北極」附近，你可以用 x(u, v) = (u, v, sqrt(1 - u^2 - v^2))（其中 u^2 + v^2 < 1）來參數化——這是個光滑映射，其偏導 x_u 與 x_v 始終獨立，故為一張合格的片。但這單一片無法觸及赤道或更低處；要覆蓋整個球面需要好幾張重疊的片。球面在每一點都正則——任何地方都沒有頂點、邊或自交。
一張片覆蓋球面的一部分；整個球面需要數張重疊的片。
正則性是逐片檢驗的局部條件，不是整體條件。一個曲面可以處處正則卻在整體上仍很有趣（像球面那樣封閉，或像環面那樣有洞）；正則性只排除頂點、摺痕與自交，而非拓樸結構。