高斯-勒讓德求積（Gauss-Legendre quadrature）

高斯求積是一個通用配方；高斯-勒讓德是它最常見的具體實現——用於有限區間上一般、無權重積分的版本。當人們說「高斯求積」時，多半指的就是它，而它也是埋在有限元素求解器與科學程式庫裡的積分引擎。

它針對 f 在 [-1, 1] 上的單純積分（任何有限的 [a, b] 都能由簡單的線性變數代換映到 [-1, 1]）。那 n 個節點是勒讓德多項式 P_n 的 n 個根——P_n 是 [-1, 1] 上常數權重的正交多項式；對應的權重來自一個含 P_n' 的封閉公式。結果繼承高斯的保證：n 點高斯-勒讓德法則把每個次數至多 2n - 1 的多項式精確積出。節點對 0 對稱，並輕微地往兩端聚集。實務上，節點與權重只需一次預先算好（經典上用 Golub-Welsch 特徵值演算法，從一個小的對稱三對角矩陣讀出），之後同階的每個積分都重複使用。

高斯-勒讓德是有界區間上光滑函數的預設高精度求積，當 f 解析時收斂呈指數般快。與一般高斯求積相同的誠實限制適用：那驚人的精度假設光滑性，所以奇異點或折角需要另一種工具；經典節點非巢狀，所以增加 n 時無法便宜地重用既有計算（這促成了高斯-Kronrod 擴充與巢狀的 Clenshaw-Curtis 法則）；並且記住，仿射重映入帶來一個雅可比因子 (b - a)/2，在一般 [a, b] 上積分時切勿遺漏。