高斯求積（Gaussian quadrature）
/ GOWSS-ee-un /
牛頓-柯特斯法則把取樣點固定在等距，只能挑權重。但何必放棄一半的自由？如果你既能把取樣點擺在任意位置，又能選它們的權重，可調的旋鈕就多了一倍——有 2n 個自由數字，你就能讓一個 n 點法則把次數高達 2n - 1 的多項式精確積出。高斯求積正是最佳地運用這份完整自由的法則。
魔法在於把那 n 個節點選為某個特殊「正交多項式」的根。對 [-1, 1] 上無權重的積分，這些是勒讓德多項式（高斯-勒讓德求積）；權重隨後由一個簡單公式得出。它行得通的深層原因：任何次數至多 2n - 1 的多項式都可拆成（一個 n 次正交多項式）乘以（一個商）再加一個餘式，而正交性使那個麻煩的高次部分在那些節點上恰好積成零。實務上的回報極大：一個 5 點高斯-勒讓德法則把每個次數至多 9 的多項式精確積出，所以對光滑函數，它達到的精度需要多得多的牛頓-柯特斯點才能匹敵。不同的權函數與範圍呼喚不同的正交家族——切比雪夫對應權重 1/sqrt(1 - x^2)，埃爾米特對應整條線上的 e^(-x^2)，拉蓋爾對應半線上的 e^(-x)。
高斯求積是精確積分「你能在所選點求值的光滑函數」的黃金標準：它是有限元素程式碼與許多科學程式庫內部的主力。誠實的提醒：它對「光滑」被積函數最閃耀——對有折角或奇異點的函數，高次多項式精確性換來的好處不多，自適應方法更勝一籌。它的經典節點不是巢狀的，所以從 n 點細化到 n+1 點，舊計算一個都用不上（高斯-Kronrod 與 Clenshaw-Curtis 解決了這點）。而那些節點與權重雖只需查表或一次算出，卻是無理數，不是牛頓-柯特斯那種乾淨的分數。
[-1, 1] 上的兩點高斯-勒讓德用節點 +-1/sqrt(3) = +-0.57735，各帶權重 1。它能精確積出任何三次式。對 x^2 從 -1 到 1 的積分（真值 2/3）：(1/sqrt(3))^2 + (-1/sqrt(3))^2 = 1/3 + 1/3 = 2/3，精確——只用兩個擺得好的樣本。
讓節點與權重都自由：n 點對 2n - 1 次精確。
2n-1 次精確是關於多項式的陳述；它「不」表示光滑被積函數會被精確積出，只表示誤差隨著高次多項式逼近 f 的好壞而縮放。在不光滑的被積函數上優勢縮小，而非巢狀的經典節點使受控誤差的細化變得彆扭——這正是高斯-Kronrod 對的由來。