Clenshaw-Curtis 求積（Clenshaw-Curtis quadrature）

高斯-勒讓德求積精度極佳，但它的節點很彆扭：無理且非巢狀，所以把解析度加倍就得丟掉先前所有的函數值。Clenshaw-Curtis 求積以一點點巔峰精度，換來兩個重大的實務勝利——節點可輕鬆算出、能漂亮地巢狀，而求值還能搭上快速傅立葉轉換的便車。

想法是：不取勒讓德的根，而在切比雪夫點取樣，也就是半圓上等距點往 x 軸的投影，x_k = cos(k pi / n)。它們往兩端聚集（這馴服了龍格現象），而關鍵在於 n 點集包含於 2n 點集，所以細化會「重用」先前每一個計算。要積分，你把 f 展成切比雪夫多項式級數，再逐項把該級數積分；這些權重可由離散餘弦轉換（FFT 的近親）在 O(n log n) 時間內算出。此法則對次數至多 n 的多項式精確——只有 n 點高斯法則約一半的次數——但在真實的光滑函數上，兩者收斂得幾乎一樣快。

Clenshaw-Curtis 是自動、自適應積分器（以及高維稀疏網格求積）的愛用法則，正因為它巢狀的切比雪夫節點讓你細化時能重用計算，並藉著比較相鄰層級來便宜地估計誤差。與高斯的誠實比較很微妙：在最壞情況的多項式次數上高斯贏一倍，但對典型的解析被積函數，實際達到的精度極為接近，而 Clenshaw-Curtis 的巢狀與 FFT 速度常使它成為更方便的選擇。和所有以多項式為基礎的法則一樣，它仍假設被積函數相當光滑。