切比雪夫節點（Chebyshev nodes）
/ CHEB-ih-shev /
如果等距取樣點使高次插值在兩端爆炸（龍格現象），自然的問題是：那你「應該」把點放在哪裡？令人意外的答案是把它們向區間的兩端聚集，在中段拉開。這些特別配置的點就是切比雪夫節點，它們使高次多項式插值表現得極好。
做法：要在 [-1, 1] 上得到它們，取等距的角度並從圓上向下投影。一組常見的是 x_k = cos((2k+1) pi / (2n+2))，k = 0, ..., n（第一類切比雪夫點）；另一組流行的加入兩個端點（切比雪夫-高斯-洛巴托點，x_k = cos(k pi / n)）。無論哪種，節點都聚集在 -1 與 +1 附近，正是等距格點最弱之處。它有效的原因恰恰是插值誤差公式：在所有節點配置中，切比雪夫節點正是使節點乘積 (x - x_0)...(x - x_n) 的最大值「最小化」的選擇，把它從指數般巨大（等距）縮到極限——在 [-1, 1] 上其峰值僅 2^(-n)。馴服了節點乘積，龍格的端點振盪便消失。
用切比雪夫節點，插值任何平滑函數都會隨加點而快速可靠地收斂，對解析函數誤差更呈幾何衰減。搭配重心拉格朗日公式（切比雪夫節點的權重簡單得驚人——只是交替的 +/-1，端點減半），整套方案既快又數值穩定；這是譜方法與 Chebfun 軟體內部的引擎。誠實的提醒：你必須能在任意處「取樣」函數（固定的量測資料未必做得到），而且應先把你的區間映射到 [-1, 1]。若你的資料落在無法移動的固定等距格點上，樣條是更好的工具。
在 [-1, 1] 上的 5 個切比雪夫節點（第一類）：cos(pi/10)、cos(3pi/10)、cos(5pi/10)、cos(7pi/10)、cos(9pi/10) = 0.951、0.588、0、-0.588、-0.951。注意間距：中間一對相距 0.36，但最末端僅 0.05——點向 +/-1 聚集。
圓上等角投影而下——兩端較密。
切比雪夫節點只有在你能選擇「在何處」取樣時才有幫助。若資料來自無法重新取樣的固定等距格點，它們派不上用場——改用樣條。也記得把一般區間 [a, b] 重新縮放到 [-1, 1]。