自適應求積（adaptive quadrature）

大多數被積函數的難度並不均勻：一個函數可能在大部分範圍幾乎平坦，卻在某個小區域劇烈尖起。固定的均勻網格在此很浪費——它在無趣的平坦處與狂野的尖峰處投入同樣的力氣。自適應求積是聰明的替代：它自動把工夫集中在被積函數「難」的地方，在容易處則輕鬆帶過。

其機制是會自我檢查的分而治之。在一片上，用兩種方式估計積分——例如一個粗法則配一個細法則，或一個高斯法則配上重用相同點的 Kronrod 擴充。兩個估計之間的差，是該片便宜的事後誤差估計。若它低於局部容差，就接受該片並前進。若否，就把該片「對半切開」並對每一半遞迴，每一半分得一份容差。這個遞迴自然會在尖峰或劇變區鑽出許多極小的片，同時讓光滑平坦的長段維持為一大片——於是最終的網格恰好在需要的地方變細。

自適應求積正是科學程式庫中通用積分常式（著名的 QUADPACK 家族、MATLAB 的 integral、SciPy 的 quad）實際所用，因為它能達到所要求的精度，而使用者無須事先知道被積函數在哪裡作怪。誠實的提醒：內建的誤差估計是啟發式的，不是保證，所以夠尖或夠振盪的被積函數可能騙過它、使它太早停（夾在取樣點之間的窄尖峰可能完全沒被看見）；而真正的奇異點可能觸發無止境、無效的細分，除非常式認得它，或你先把它變換掉。