處理奇異積分（handling singular integrals）
標準求積法則默默假設被積函數是有限區間上光滑、有界的函數。真實積分常違反這點：被積函數可能在端點爆掉（如 0 處的 1/sqrt(x)）、有無限陡的斜率，或範圍本身延伸到無窮（如從 0 到無窮的積分）。把這類積分丟進普通法則會得到緩慢、不準，甚至全然荒謬的答案。處理奇異積分就是馴服它們的一整套技巧。
有幾種策略，常常合用。第一，「變數代換」可以吸收奇異性：代換 x = t^2 把 1/sqrt(x) 的積分變成 t 的光滑被積函數；而著名的 tanh-sinh（雙指數）變換把有限區間映射成讓端點奇異性被壓平，使簡單法則收斂得快得驚人。第二，「相減」：若你解析地知道奇異部分，就手算把它積掉，只對光滑的餘式套用求積。第三，「特殊法則」：高斯-雅可比求積把端點奇異性 x^a (1-x)^b 直接內建進權函數，使節點與權重精確地處理它；高斯-拉蓋爾／高斯-埃爾米特則處理無限範圍上的權重 e^(-x) 與 e^(-x^2)。對無限範圍，你也可以代換，例如 x = t/(1 - t)，把無窮折回有限區間。
懂不懂處理奇異性，決定了一個求積常式回傳可信的數字，還是回傳垃圾或永不收斂。要分清楚的誠實區別是：「可積」奇異性（即使被積函數無界、積分仍有限，如 0 附近的 1/sqrt(x)）可由這些方法處理；「不可積」者（積分真的發散）則無法靠任何求積拯救——再多的巧思也積不出無窮。而把奇異被積函數丟給天真的自適應常式卻不告訴它奇異點所在，往往會在壞點附近觸發無止境的細分，燒掉一堆計算卻幾乎不收斂。
在 [0, 1] 上積 1/sqrt(x)（真值 2）。普通梯形法則會失敗，因為 f 在 0 處無窮。代換 x = t^2、dx = 2t dt：積分變成從 0 到 1 的 (1/t)(2t dt) = 2 dt，一個完全光滑的常數被積函數，精確給出 2。奇異性已被變換掉。
一個變數代換可以把端點奇異性完全吸收掉。
區分可積與不可積奇異性：求積技巧能拯救「被積函數無界但積分有限」的情形，但沒有任何方法能讓真正發散的積分收斂。也千萬別把奇異被積函數盲目丟給天真的自適應常式——除非你先變換它或用感知奇異點的法則，否則它會在奇異點附近無止境細分。