停止判據

迭代法產生一個無止境的序列 x_1, x_2, x_3, ...，它朝答案爬行，但嚴格說來永遠到不了。所以你需要一條「何時停」的規則——停止判據。停得太早，你交出一個馬虎的答案；停得太晚，你浪費算力去追逐既不需要、也無法信任的位數。這個判據就是那個裁判，宣告迭代「夠好了」並結束它。

標準的測試盯著殘差 r_k = b - A x_k，當它的範數降到某個容忍度以下時停止，並以右端項為基準做相對量測：當 ||b - A x_k|| <= tol 乘 ||b|| 時停止。相對形式很重要，因為它讓測試與尺度無關（把整個問題乘以一千，不該改變你何時停）。常見兩項細化。第一，絕不要把 tol 設在浮點所容許的限度之下：把殘差壓到單位捨入乘以條件數之下，是在追逐雜訊，所以實際的下限大約是機器 epsilon 乘上條件數。第二，永遠用一個上限封住迭代次數，使停滯或發散的執行會終止而非無窮迴圈；屆時你回報失敗，而非假成功。

這裡潛伏著微妙的陷阱。小殘差不等於小誤差——在病態的 A 上，你可能在 ||r|| 極小時就停了，x 卻仍離 x_star 很遠，所以容忍度應透過條件數來解讀。以步長 ||x_k - x_{k-1}|| 為基礎的測試，可能被一個爬行的方法（步子極小卻遠未收斂）所騙。而正確的容忍度由問題決定：當你的輸入資料只知三位數時，要求十位數毫無意義。一條好的停止規則，結合相對殘差測試、合理的最大迭代次數保護、以及對「答案究竟能多準」的誠實認識。