多元分析
多元函數
想像一張天氣圖：地面上每個點（由緯度、經度兩個數確定）都對應一個溫度（一個數）。這種「兩個輸入進、一個輸出出」的對應關係，就是多元函數。更一般地，我們輸入 n 維空間中的一個點，讀出一個數，甚至讀出一整個向量。
嚴格地說，多元函數是從 R^n 的某個子集到 R^m 的映射 f。當 m = 1 時稱為純量值函數（純量場）；當 m > 1 時稱為向量值函數（向量場）。我們寫作 f(x_1, ..., x_n)，或把 x = (x_1, ..., x_n) 看成單個點而寫 f(x)。定義域是使該法則有意義的輸入集合。
從一元到多元的跨越並非只是形式上的。一個點可以從無窮多個方向逼近，而不僅是從左、從右，因此正確的極限與連續概念必須同時控制所有方向。一元的直覺常常仍然成立，但確實會出現若干全新的現象，這正是這一整個領域存在的理由。
f(x, y) = x^2 + y^2 把 R^2 映到 R；其圖像是拋物面（一只碗），其等值集是圓。g(x, y) = (x - y, x + y) 把 R^2 映到 R^2，對平面做旋轉加放縮。
平面上一個純量值、一個向量值的例子。
一個微妙的多元陷阱：f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)（且 f(0,0) = 0）沿過原點的每條直線……其實沿 y = x 它恆等於 1/2，故在 (0,0) 處沒有極限、不連續。只檢驗有限多個方向永遠不夠。
又稱
另見