自由邊界問題（free-boundary problem）
到目前為止的每一個問題裡，區域都是給定的：從 0 到 L 的棒、有固定邊緣的板。你知道邊界在哪，並在那裡施加一個條件。但許多真實情境並不這麼整齊——區域的形狀本身就是你要尋找的一部分。融化的冰水那灘水的邊緣究竟在哪裡？水滲入乾土滲到多深？分隔流動流體與靜止流體的那個面在哪裡？自由邊界問題就是這樣一個 PDE：它的定義域有一個事先未知的邊界，必須與解本身一同被解出。
其決定性特徵是：這個未知的邊界需要一個額外的條件才能被釘住。在固定邊界上你給一個條件（狄利克雷、諾伊曼或羅賓）就夠了，因為你已經知道邊界在哪。在自由邊界上你必須給兩個：一個條件決定邊界附近的解，第二個額外的條件決定邊界本身的位置。經典例子是融冰的史蒂芬問題：熱方程在水中與冰中都成立，溫度在移動的冰水界面上為零（一個條件），而第二個「史蒂芬條件」把該界面的速度與越過它的熱通量跳變綁在一起——亦即鋒面推進時所吸收的潛熱。兩個條件對應兩個未知量：溫度場與鋒面。
凡是有相變、接觸或障礙之處，自由邊界問題就無所不在：融化與凍結、地下水滲過水壩、彈性薄膜接觸障礙物的區域、金融中美式選擇權的執行邊界。它們確實比固定邊界問題更難，恰恰因為未知的幾何使它們即使在底層方程是線性時也變成非線性——移動邊界改變定義域，改變了解，又移動了邊界。它們位於適定性故事的前沿，而本詞典只是指向它們：提醒你，「什麼是恰當的資料？」這問題有時還包含「而且邊界在哪裡？」
史蒂芬問題（融冰）：在水的區域熱方程 u_t = k u_xx 成立；在移動界面 x = s(t) 處溫度 u = 0（熔點），而史蒂芬條件 L * s'(t) = -k u_x（在界面處）把鋒面速度 s'(t) 與送達它的熱通量綁在一起，其中 L 是潛熱。PDE 給出溫度，額外的條件給出未知的鋒面 s(t)。
自由邊界需要兩個條件：一個給解，一個用來定位移動邊界本身。
使自由邊界問題困難的不是方程，而是未知的幾何：一旦定義域取決於解，即使是線性 PDE 也變成非線性，於是疊加原理與許多標準的線性工具便不再直接適用。