基礎：點、線、面與公理化方法
歐幾里得的公設（Euclid's postulates）
/ YOO-klid /
約西元前 300 年，歐幾里得寫下《幾何原本》——史上最具影響力的教科書——他從一份簡短的起始假設清單建構出整個幾何。他的五大公設就是你被允許視為理所當然的作圖規則——直尺與圓規能做的動作——其後每個定理都必須由此證明。
用現代白話來說，五條是：（1）可從任一點到另一點畫一線段；（2）可將任一線段沿直線任意延長；（3）可以任一點為圓心、任一長為半徑畫圓；（4）凡直角彼此相等；（5）平行公設——若一直線截兩直線，使同一側的兩內角和小於兩直角，則這兩直線延長後必在該側相交。歐幾里得另列出「共有概念（common notion）」，如「等於同量的諸量彼此相等」這類更一般的真理。
前四條公設簡短、直觀，從未被認真懷疑。第五條措辭較長、感覺較不顯然，兩千年來數學家不斷試圖從另外四條導出它——卻都失敗了。如今我們明白原因：平行公設與其餘各條互相獨立，因此可以假設它成立（歐氏幾何），也可以換掉它（雙曲與橢圓幾何），各自給出一套自洽的幾何。第五公設從不曾是錯的；它只是並非被迫成立，而認清這一點，正開啟了通往非歐幾何的大門。
第三公設讓你把圓規張成任意半徑、轉出一整個圓；第一公設讓你用線段連接兩個標出的點。兩者合起來，正當化了《幾何原本》中的第一個作圖：在給定線段上作等邊三角形——畫兩個圓，再把交點與兩端點相連。
公設是合法的步驟；每個定理都是只用這些步驟所完成的證明。
平行公設從未被推翻——它與其他公設互相獨立，因此有它與沒它都各有自洽的幾何。非歐幾何只是增添了選項，並沒有駁倒歐幾里得。
又稱
另見