定義與定理之別（definition versus theorem）

兩種為真的句子坐落在幾何的核心，而初學者常把它們混為一談。一種之所以為真，是因為我們約定要這樣使用某個詞；另一種之所以為真，是因為我們把它證明了。分辨定義與定理，就是區分一條語言的規則與一項發現。

定義替一個詞指派精確的意義——它是一種命名的約定，因約定而為真，不需證明。「等邊三角形是三邊相等的三角形」是一個定義：它只是告訴你這個詞的意思。相對地，定理是一個已由公理、定義與先前的定理經邏輯論證證明為真的命題。它是我們發現且必須加以正當化的後果，而非我們宣告的意義。配角包括公設或公理（未經證明的起始假設）、引理（lemma，小型的輔助定理），以及推論（corollary，從某定理迅速得出的結果）。

把兩者分清很要緊，因為它讓你看見還有什麼有待證明。經典的例子就活在本領域：等邊三角形三邊相等是它的定義（不需證明），但等邊三角形三角相等則是一個定理（必須證明，要透過等腰三角形定理）。同樣地，等腰三角形的底角相等是一個定理，而非定義的一部分。初學者常犯的錯，是把某事當成定義般引用來「證明」它——但你不能假設你打算要證明的東西。