格林函數的本徵函數展開（eigenfunction expansion of a Green's function）
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構造格林函數有兩條路。一條是局部構造：用跳躍條件把齊次解在源處拼接起來。另一條是全局且譜的：把格林函數在算子的固有振動模式中展開。如果你已知道問題的本徵函數與本徵值，第二條路幾乎瞬間就把格林函數寫成一個單一級數。
這套配方建立在斯圖姆-劉維爾理論之上。設 L 有滿足邊界條件、且 L phi_n = lambda_n w phi_n 的本徵函數 phi_n，並設這些 phi_n 關於權 w 構成完備的正交歸一集。把未知的 G 與 delta 源都在這組基下展開。因為 phi_n 是本徵函數，把 L 作用於 G 的級數會使算子化為乘以 lambda_n，再與 delta 的展開（完備性關係，sum phi_n(x) phi_n(s) = delta(x - s)/w）相匹配，就定下每個係數。結果是雙線性級數 G(x, s) = 對 n 求和 phi_n(x) phi_n(s) / lambda_n。每一項是一個模的貢獻，按其本徵值的倒數加權。
這個表示既有啟發性又在實踐中強大。它透明地表明，為什麼當 lambda 撞上某個本徵值時格林函數會爆掉——一個分母變零，這正是共振，也是弗雷德霍姆擇一律失效的可視化。它是為矩形、圓盤或球面上拉普拉斯算子寫出格林函數的標準方式（對正弦、貝塞爾模、球諧函數求和），並把整套格林函數機制連回廣義傅立葉級數。誠實的侷限：你必須已經掌握完整的譜，所以它對本徵函數已知的可分離、對稱幾何最為有用。
對 [0, 1] 上 -G'' = delta(x - s)，邊界 G(0) = G(1) = 0，本徵函數為 phi_n = sqrt(2) sin(n pi x)，本徵值 (n pi)^2。譜公式給出 G(x, s) = 對 n 求和 2 sin(n pi x) sin(n pi s) / (n pi)^2——與閉式 x(1 - s) 同一個格林函數，現在寫成傅立葉正弦級數。
同一個格林函數既有閉式，又有譜級數——一個對象的兩副面孔。
若零是某個本徵值（對某 n，lambda_n = 0），級數會出現除以零，普通格林函數不存在——這正是弗雷德霍姆擇一律的障礙。你於是去掉那個模，構造修正格林函數，這也是為什麼譜形式讓這種失效如此顯眼。