比較原理（comparison principle）
兩塊一模一樣的金屬板，其中一塊在每一點的起始與邊界都比另一塊熱。常識說較熱的那組會處處、永遠保持較熱——你無法靠擴散把較涼的輸入變成較暖的輸出。比較原理把這份常識變成定理：較大的資料給出較大的解，逐點如此。它是戴上最實用帽子的最大值原理。
精確地說：設 u 與 v 都滿足同一個橢圓或拋物方程（或 u 是下解、v 是上解），且在邊界（或初始資料）上 u <= v。則內部處處、所有時刻都有 u <= v。證明是一行最大值原理：差 w = u - v 滿足同樣的線性方程，且邊界上 w <= 0，於是由最大值原理 w <= 0 處處成立。一個極為有用的特例，是把你未知的解拿來跟一個你寫得出的明確障壁比較：若已知的上解 v 在你的資料之上，則你的解處處被困在 v 之下，給出一個先驗 L 無窮界（在你求解之前就已掌握的上界）。
這一個點子是定性 PDE 的主力。它給出唯一性（若 u <= v 且 v <= u 則 u = v）、穩定性（用資料的大小控制解的大小），以及讓非線性疊代不致爆破的先驗界。它支撐上下解法（單調疊代），把一個解夾在下解與上解之間再擠出來。誠實提醒：它本質上是橢圓／拋物型現象——像波動方程這樣的雙曲型方程「不」服從比較原理，因為它們的解可以在資料的上下自由振盪。
要界定一個未知的穩態溫度 u，它滿足 Laplacian u = -f 且 f 介於 0 到 2，就拿它跟明確的上解 v 比較，v 滿足 Laplacian v = -2 且邊界資料相同。由於 u 的源處處較小，故處處 u <= v——一個你從 v 讀出、卻無需找到 u 的上界。
較大的資料給出較大的解——比較原理把已知障壁變成先驗界。
它「並非」放諸四海皆準：它對橢圓與拋物（擴散型）方程成立，但對波動方程與其他雙曲型問題失效，那裡解會振盪、大小次序不被保持。把它繫於最大值原理，是看清它何時適用的誠實方式。