最大值原理與定性性質
正性保持（positivity preservation）
密度不能是負的。絕對溫標上的溫度不能是負的。溶解的糖的濃度不能是負的。若你的 PDE 要拿來描述其中之一，你會想要一個保證：一個從非負出發的解永遠保持非負——否則這個模型就會預測出像「負物質」這樣的胡話。正性保持正是這個保證，而對擴散型方程它是真的、也可證。
精確地說：對熱方程 u_t = k Laplacian u，若初始資料非負、邊界資料也非負，則解在往後所有時刻處處非負。這只是把比較原理用在 v = 0 上：零本身是一個解，你的資料在零之上，故由比較原理你的解也在零之上。同樣的推理還給出更多——嚴格正性。由強最大值原理（或直接由嚴格為正的熱核），一個不恆為零的非負初始資料會瞬間處處變嚴格正，這是無限傳播速度的一張鮮明面孔：任何地方一點熱就溫暖了處處，於是沒有東西能恰好停在零。對反應擴散系統，則要檢查不變區域或擬正性條件，以保持每個分量非負。
為什麼重要：它是判定你的模型在物理上可接受的合理性檢查，而在你離散化時更是不可或缺。一個無法保持正性的數值格式會產生負的密度或溫度、把模擬弄崩；設計保正格式是計算中的真實課題。誠實提醒：並非每個 PDE 都保持正性——像雙調和（拉普拉斯算子平方）這樣的高階方程通常「不」保持，這正是為什麼二階擴散遠比四階模型乖巧的原因之一。
一種污染物濃度滿足 u_t = k u_xx，從一個非負分布出發，邊界乾淨（為零）。正性保持保證模型在任何地點、任何時刻都不會報出負濃度——而且事實上，只要原本有任何污染物，之後濃度立刻處處嚴格為正。
非負進、非負出——模型的物理合理性檢查。
它是二階擴散的恩賜，而非普遍定律：像雙調和這樣的四階方程通常不保持正性，於是薄膜或板的模型可能跌破零。而在數值上，正性必須被刻意設計進去——粗心的格式會製造出虛假的負值。
又稱
另見