反應擴散方程（reaction-diffusion equation）
想像一群動物在地景上擴散開來，或一種化學物質一邊在凝膠中擴散一邊反應。兩件事同時發生：東西平滑地擴散開（擴散，就是抹平熱量的那種模糊化），以及東西在局部被產生或消滅（反應——出生與死亡，或分子結合）。反應擴散方程把這兩種效應放進同一條方程，讓它們彼此較勁。兩者之間的張力，產生了數學生物學與化學中幾乎所有有趣的東西：行波前緣、斑點、條紋、振盪。
模型方程是 u_t = D Laplacian u + f(u)。逐項來讀：u(x, t) 是密度（某物種、某化學物、某溫度的密度）；左邊的 u_t 是隨時間的變化率；D Laplacian u 是擴散項，它總把 u 推向其局部平均（D > 0 是擴散係數）；而 f(u) 是反應項，是 u 局部值的函數，負責添加或移除物質。反應項的不動點——使 f(u*) = 0 的那些值 u*——是動態圍繞著組織起來的平衡態，而每個平衡態是穩定的（f'(u*) < 0）或不穩定的（f'(u*) > 0），決定了哪些狀態能持存、哪些前緣會侵入哪些區域。單一物種時 f(u) 是純量；若有多種交互作用的化學物，你就得到一個耦合的反應擴散方程「系統」，圖靈圖案正住在這裡。
為什麼這是非線性偏微分方程應用裡的主力工具？因為它是「擴散的平滑化」與「非線性源項」競爭的最簡單場景，而正是這種競爭產生了自組織。Fisher-KPP 方程（f(u) = u(1 - u)）描述前進中的族群前緣；Allen-Cahn 方程（f(u) = u - u^3）描述相界面的銳化；Belousov-Zhabotinsky 反應在培養皿中製造出實實在在的彩色波。關鍵在於：擴散本來單獨作用只會平滑並衰減，一旦配上恰當的反應，竟成了圖案形成的引擎——這既違反直覺，又正是圖靈的洞見。
取 f(u) = u(1 - u)（邏輯斯成長）與 D = 1：u_t = u_xx + u(1 - u)。一開始在 x = 0 附近有一小撮族群，四周是空白。這一撮會成長（反應）並擴散（擴散），過一陣子便組織成一個形狀固定的波，以速度 2 向空白區推進——一個侵入 u = 0、在身後留下 u = 1 的行波前緣。
擴散使之鋪開、反應使之成長：兩者合起來造出一個移動的前緣。
單獨的擴散只會平滑與抹平；單獨的反應不過是每一點上的一條常微分方程。有趣的行為——圖案、前緣、爆破——只來自兩者的「耦合」，而（對圖靈圖案而言）往往還需要多種以「不同」速率擴散的物質。