Allen-Cahn 方程（Allen-Cahn equation）
/ AL-en KAHN /
把一種材料的兩個相混在一起——比方說合金中的兩種晶體取向，或油與水——然後盯著它們之間的界面看。界面不會靜止不動；它會收緊並移動以縮小自身面積，很像肥皂膜把自己拉平。Allen-Cahn 方程是模擬此事最簡單的偏微分方程：一個場，幾乎處處都想處於兩個狀態之一，而它們之間有薄薄的過渡層，演化的方式正是去平滑並收縮。
方程是 u_t = epsilon^2 Laplacian u + u - u^3，這是一個反應擴散方程，其反應項 f(u) = u - u^3 = -W'(u) 來自雙阱位勢 W(u) = (1/4)(1 - u^2)^2。這位勢在 u = +1 與 u = -1 處有兩個相等的極小（兩個相），在 u = 0 處有一個不穩定的隆起。於是動態驅使 u 幾乎處處趨向 +1 或 -1，而擴散禁止跳變，迫使形成一個寬約 epsilon 的平滑過渡層。兩相相遇之處，這個層就是擴散界面。漂亮的結果是：當 epsilon 趨於 0 時，界面依平均曲率流移動：邊界上每一點都以正比於它彎曲程度的速率向內移動。一個隆起會被抹平，一個小圓形區域會在有限時間內收縮並消失。這是一個梯度流：它使 Ginzburg-Landau 能量 integral of (epsilon^2/2)|grad u|^2 + W(u) 遞減。
為什麼要在意？Allen-Cahn 是界面動態的模型問題，也是用來模擬晶體生長、凝固與影像處理的「相場」方法的基石。它是 Fisher-KPP 的天然手足——同樣的反應擴散框架——但帶有「雙穩」反應（兩個穩定態），所以你得到的不是一個狀態侵入另一個，而是各相的區域彼此競爭並粗化。它也是偏微分方程與幾何流之間最乾淨的解析橋樑：近似求解 Allen-Cahn 就近似求解了平均曲率流。
起始時圓內 u = +1、圓外 u = -1，中間夾一層薄薄的擴散層，圓半徑為 R。圓會收縮：其半徑大致滿足 dR/dt = -1/R，故 R(t)^2 = R(0)^2 - 2 t，區域在時刻 t = R(0)^2 / 2 時消失。較小的泡泡先死——正是泡沫老化時所見的粗化。
雙阱反應使界面依其曲率而移動。
儘管外表相似，Allen-Cahn 並「不」守恆 u 的總量——泡泡就這麼消失了。守恆的表親（保持每一相的總量不變）是 Cahn-Hilliard 方程，那是一個四階偏微分方程，動態相當不同。