弱最大值原理（weak maximum principle）

把一張肥皂膜撐在一個鐵絲圈上。膜永遠不會鼓得比鐵絲的最高點還高，也不會垂得比最低點還低——它的高低起伏全都落在邊緣的圈上，而不在中間。弱最大值原理對橢圓型方程的解講的是同一件事：解不可能取到比它在邊界某處已經取到的值還大（或還小）的值。最大與最小都住在邊上。

精確地說：若 u 在一個有界區域上滿足拉普拉斯方程 Laplacian u = 0（或滿足次調和不等式 Laplacian u >= 0），則 u 在閉區域上的最大值等於 u 只在邊界上的最大值。「弱」這個字的意思是它只保證最大值會在邊界某處達到——並不禁止同一個最大值也出現在內部。證明的點子很短：加上一個微小向上彎的隆起，例如 epsilon 乘以 |x|^2，它的拉普拉斯算子嚴格為正，於是這個被加料的函數不可能有內部最大值（內部最大值會迫使 Laplacian <= 0）；把這個內部最大值逼到邊界，再讓 epsilon 趨於零。次調和函數（Laplacian u >= 0）只服從最大值那一半；對完整調和的 u，對 -u 套用同樣論證就能得到最小值那一半。

這是你最先、也最便宜的定性資訊：它只用邊界上的資料就把解處處界定住，完全不必求解。由它流出唯一性（兩個邊界資料相同的解必相等，因為它們的差是邊界值為零的調和函數，故為零）與穩定性（邊界資料的微小改變，最多在內部造成同樣微小的改變）。強最大值原理把它再磨利：除非解是常數，否則連內部最大值都不准出現。