拋物型最大值原理（parabolic maximum principle）

把一根金屬棒加熱，然後看它冷卻。內部沒有任何一點會自發地變得比一開始更熱、或比兩端維持的溫度更熱——你會看到的最高溫，早已存在於初始分布或邊界之上。擴散只會抹平，它絕不會憑空製造出新的尖峰。拋物型最大值原理對熱方程講的正是這件事。

微妙之處在於「哪一部分」的邊界算數。對一個在空間區域上、跨時間區間 [0, T] 演化的問題，相關的邊界——稱為拋物邊界——是底部（初始時刻 t = 0）連同側面（所有時刻的空間邊界），但「不」包含頂部（最終時刻 t = T）。原理說：若 u_t <= k Laplacian u（一個下解），則 u 在整個時空柱上的最大值在這個拋物邊界上達到。於是你回溯到初始資料與側面資料，永遠不會前進到最終那一層。證明同樣靠一個符號合適的擾動項，把極值逼到拋物邊界上；時間上的不對稱——過去重要、未來不重要——正是擴散不可逆性在幾何上的現身。

這把橢圓版的一切都搬到時間裡：熱方程初邊值問題的唯一性、對初始與邊界資料的連續依賴，以及比較原理（更熱的起點與更熱的邊界，會給出在往後所有時刻都逐點更熱的解）。它也解釋了為何倒退熱方程不適定——把原理倒著跑會讓內部尖峰增長，而擴散禁止這種事。也有強拋物型版本：一個達到內部時空最大值的下解，在該時刻之前是常數。