切比雪夫方程
/ Chebyshev: CHEB-ih-shev /
有些特殊函數來自物理；切比雪夫的則來自「如何用多項式盡可能均勻地逼近一個函數」這一問題。切比雪夫方程（Chebyshev's equation）是其多項式解——切比雪夫多項式——為一致逼近之冠軍的微分方程，即在一個區間上以完全相等的幅度起伏的那種多項式。
它是 (1 - x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0，定義在 -1 <= x <= 1 上，與勒讓德一樣在 x = +1 與 x = -1 處有正則奇點。冪級數解恰在 n 為非負整數時截斷為多項式，給出第一類切比雪夫多項式 T_n(x)。引人注目之處是一個隱藏的換元：令 x = cos(theta) 把整個方程變成平凡的 d^2y/d(theta)^2 + n^2 y = 0，所以 T_n(cos theta) = cos(n theta)。那個著名的起伏多項式，不過是一個披著代數偽裝的餘弦。
由於 cos(n theta) 以等高的波紋在 +1 與 -1 之間振盪，T_n 是其次數的多項式中，在最壞情形（一致）意義下在 [-1, 1] 上最貼近零的那一個。這一「等波紋」性質使切比雪夫多項式成為數值分析的支柱：切比雪夫插值避免了困擾等間距多項式擬合的劇烈振盪（龍格現象），切比雪夫節點是最優採樣點，切比雪夫展開是譜方法與電子濾波器設計的基礎。這裡「方程」是入口，但其回報壓倒性地偏向計算而非物理。
取 n = 3 求解得 T_3(x) = 4x^3 - 3x。驗證那個偽裝：4(cos theta)^3 - 3 cos theta = cos(3 theta)，即三倍角公式。所以切比雪夫的三次式實際上就是用 x = cos theta 重新表達的 cos(3 theta)。
T_n(cos theta) = cos(n theta)——倍角公式恰好就是切比雪夫多項式。
有兩個家族：第一類 T_n（權 1/sqrt(1 - x^2)）與第二類 U_n（權 sqrt(1 - x^2)），來自同一方程的兩個解。「最優插值」的名聲屬於第一類；不要把兩者混為一談。