瑞利商（Rayleigh quotient）

不精確求解鼓的方程，怎樣估計鼓的最低固有頻率？瑞利商就是答案：由你隨手猜的任一試探形狀構造的一個數，它高估最低本徵值，而你的猜測越好它就越接近。它把本徵值問題化為一個極小化問題，後者在近似處理上往往容易得多。

對斯圖姆-劉維爾算子，滿足邊界條件的試探函數 u 的瑞利商是 R[u] =（integral of [p (u')^2 - q u^2] dx）除以（integral of u^2 w dx）。分子在物理上是某種儲能（彎曲或拉伸能加一個勢能項）；分母是帶權範數。兩個事實使它有力。其一，若代入精確本徵函數 y_n，便原樣得回其本徵值 lambda_n。其二，該商在每個本徵函數處駐定，並在所有容許 u 上被最低本徵值極小化：lambda_1 等於 R[u] 的最小值。於是對任何並非真正基態的試探 u，R[u] 大於 lambda_1——一個你能算出的上界。

這是瑞利-里茨方法的引擎，也是物理與工程的常備工具。猜一個帶幾個自由參數的簡單試探函數，把 R[u] 算成這些參數的函數，再極小化；結果是基本本徵值（最低振動頻率、量子力學中的基態能量、柱的屈曲載荷）的一個嚴格上界。即便粗糙的猜測也常落在百分之幾以內，因為該商在真實模式附近駐定——形狀的小誤差只造成本徵值的二階誤差。