本徵值的變分估計（variational eigenvalue estimate）

精確的本徵值常遙不可及，但對它的一個有保證的界並非如此。本徵值的變分估計就是把瑞利商的極小原理化為數值的實用配方：選一族試探函數，在其上優化，讀出最低本徵值的一個嚴格上界。它以精確可解性換取一個可控而誠實、且可隨意加細的近似。

極小原理說 lambda_1 等於瑞利商 R[u] 在所有容許 u 上的最小值。你無法搜遍所有函數，於是限制到一個有限維試探空間——比如 u = a_1 phi_1 + ... + a_N phi_N，phi_k 為所選基函數，a_k 為自由係數。在係數上極小化 R[u]，便把變分法問題化為一個有限的廣義矩陣本徵值問題 A a = mu B a，其中 A、B 是剛度陣與質量陣（基函數之間的分子與分母積分）。其最小本徵值 mu_1 就是你對 lambda_1 的估計，且可證不小於 lambda_1：更多（或更好）的試探函數只會把估計向真值壓低。這正是瑞利-里茨方法，而把試探空間擴大到估計不再變動，便是有限元法的概念種子。

由於這個界是單側且單調的，變分估計可信的方式是許多近似所不及的——你始終知道自己在真值之上，並能看著估計隨基函數的增加而下降。工程師據此求屈曲載荷與振動頻率，量子化學家據此估計基態能量（那裡的變分原理保證所算能量絕不低於真正的基態）。要留意的是：乾淨的上界保證只適用於最低本徵值；要界定更高的模式，需正交約束或更精細的極小極大刻畫。