邊界

集合的邊界是內外之間那層薄皮：在這些點處，集合與它的補集都任意地擁擠逼近，以致你無法乾淨地說出自己是在內還是在外。它是歸屬問題最為微妙的前沿。

嚴格地說，A 的邊界，記作 A 的邊界或 partial-A，是這樣一些點 x 的集合：圍繞 x 的每個開球都同時與 A 及其補集相交。等價地，它是 A 的閉包減去 A 的內部。由對稱性，一個集合與它的補集擁有完全相同的邊界。

一個集合為閉若且唯若它包含自己的整個邊界，為開若且唯若它一點邊界都不包含。邊界對周圍空間和集合本身極為敏感：有理數集 Q 在 R 中的邊界是整個 R，因為每個區間都同時含有有理數和無理數，故直線上沒有任何一點能與二者中的任一乾淨地分離。