加邊黑塞矩陣（bordered Hessian）

拉格朗日方法找出目標梯度與約束梯度平行的候選點，但它對每個候選點究竟是受約束的極大、極小還是兩者皆非保持沉默。加邊黑塞矩陣正是了結此問的二階判別——它是檢驗普通黑塞矩陣定性的受約束類比。

它的構造是：取拉格朗日函數的黑塞矩陣（對變數的二階導數），再用約束梯度做成的邊把它鑲起來。對 n 個變數中的一條約束 g，矩陣為 [0, grad g; (grad g) 轉置, H]，是一個 (n+1) 階對稱矩陣。訣竅在於，普通定性問錯了問題——你只關心沿尊重約束的方向（切空間）上的彎曲。那條邊恰好編碼了這一限制，判別法讀取它若干順序主子式的符號序列。正確的交錯符號模式標誌受約束極小；相反的模式標誌受約束極大。

在經濟學中，這一判別確認成本最小化或效用最大化的解確實是最優，而不僅是駐點。它是受約束最佳化二階條件背後嚴格的後盾，也是靈敏度分析的基礎。誠實的提醒：子式符號法則相當挑剔，確切的模式取決於約束的個數，實踐中人們往往改為檢驗限制在切空間上的黑塞矩陣的特徵值，那是同一思想更透明的表述。