多重約束（multiple constraints）

一條小路把你限制在一條曲線上；兩條交叉的小路則把你釘在一個點上。當一個最佳化必須同時滿足不止一條、而是好幾條等式約束——g1 = c1, g2 = c2, 等等——可行集就收縮了。在三維中，兩個約束曲面通常相交於一條曲線，你便沿這條交線最佳化。拉格朗日方法自然地推廣：你只需為每條約束配一個乘數。

最優條件變成 grad f = lambda1 乘 grad g1 + lambda2 乘 grad g2 + ...——目標的梯度是各約束梯度的線性組合，每個都以自己的乘數加權。幾何上，grad f 必須落在約束梯度所張成的子空間裡；等價地，grad f 中沿可行集（保持所有約束滿足的方向）的分量必須為零，否則你仍能改善。與約束本身合在一起，便得到 n + m 個方程，含 n 個變數和 m 個乘數，你聯立求解。

在實際問題中多重約束是常態而非例外：化學平衡同時守恆若干元素，投資組合必須達到目標收益、同時保持權重之和為一，結構必須滿足多個載荷平衡。一個關鍵的誠實條件支撐著這套方法——約束梯度在最優點處必須線性無關（約束品性條件）。若不然，乘數可能不存在或不唯一，那幅漂亮的圖景就會失效。