一般化

一般化就是從「這件事發生了」跨到「這件事總會發生」的那一步。你注意到 2 + 3 等於 3 + 2，7 + 1 等於 1 + 7，於是不必永遠逐對去驗證，而是寫下 a + b = b + a——一句話就一次性囊括了所有這些情形。用字母替換具體的數，正是代數把無窮多個事實壓進一行的辦法。

這是代數存在的最深層理由。算術回答「12 × 15 是多少？」；代數回答「對所有這種形狀的數，什麼是成立的？」透過把具體的值換成變量，你就陳述了一條規則、一個模式或一個公式，其真理性不依賴於任何單個例子。

這裡有一種紀律：一個一般化的好壞，取決於它對適用範圍是否誠實。規則 a + b = b + a 對所有實數成立，但「可以開平方根」對負數不成立，而「可以做除法」在除數為零時失效。審慎的一般化不僅陳述模式，還陳述模式被保證成立的條件。