累積函數與貼現函數

設想把一元錢投進帳戶後不再去碰它。隨著時間流逝，它按某種規則增長。累積函數（記作 a(t)）就是那條配方，告訴你這 1 元經過 t 期後變成了多少。反過來讓時鐘倒走，問一筆未來的錢現在值多少，就得到它的鏡像——貼現函數。這兩個函數合在一起，就是把任何金額在時間上搬來搬去的引擎。

累積函數 a(t) 給出在零時刻投入的 1 單位在 t 時刻的價值，按定義 a(0) 等於 1。在複利下 a(t) 等於（1 + i）的 t 次方；在單利下等於 1 加 i 乘 t；一般地等於 e 的（利息力直到 t 時刻的積分）次方。貼現函數（記作 v(t)）是它的倒數，1 除以 a(t)——在 t 時刻應付的 1 單位今天的現值。在複利下 v(t) 等於 v 的 t 次方，其中 v 是一期貼現因子 1 除以（1 + i）。

這些函數是共同的抽象，讓精算師無需鎖定任何一種利率模式就能工作。通過選擇 a(t) 的形式，你可以為常數利率、單利、平滑變化的利息力，甚至跳變的利率方案建模。這門學科中的每一個現值、累積值、年金和準備金，歸根到底都是把現金流乘以適當的 a(t) 或 v(t) 值構造出來的。它們是利息理論的動詞。