1/f 下零點與極點的互換（zeros and poles under 1/f）
零點與極點互為鏡像，而那面鏡子就是取倒數的運算。函數 f 觸及零的地方，它的倒數 1/f 衝向無窮；f 衝向無窮的地方，1/f 觸及零。構造 1/f 把這兩種特殊點對調——而且這是精確又有用的部分——它對調時保持相同的階。
確切規則如下。若 f 在 z_0 有 m 階零點（意指 f(z) = (z - z_0)^m 乘以一個在 z_0 處非零的解析函數），則 1/f 在 z_0 有 m 階極點。反之，若 f 在 z_0 有 m 階極點，則 1/f 在那裡有 m 階零點。階相符是因為在該點附近，零點情形下 f 看起來像 c(z - z_0)^m（c 不為零），所以 1/f 看起來像 (1/c)(z - z_0)^(-m)——恰好 m 階的極點——而同樣的代數反向亦然。單零點變單極點；雙零點變雙極點。
這種互換是亞純函數如何被建構與分析的引擎。它解釋了為何有理函數 g/h 的極點恰好坐落在 h 的零點上（那些未被 g 的零點抵消者），為何 tan z = sin z / cos z 的極點在 cos z 為零之處，以及為何輻角原理能用一個積分同時計數零點與極點：在對數導數下，m 階零點與 m 階極點貢獻相反的符號，+m 與 -m。一旦你把零點與極點看成一枚硬幣的兩面，大半亞純理論就變得對稱了。
f(z) = sin z 在 0 有單零點（sin z = z - z^3/6 + ...）。則 1/sin z = 1/(z(1 - z^2/6 + ...)) = (1/z)(1 + z^2/6 + ...) 在 0 有單極點，留數為 1。sin 的 1 階零點變成了 1/sin 的 1 階極點。
sin z 在 0 的單零點變成 1/sin z 的單極點，留數為 1。
此規則要求該點是有限階的孤立零點（或極點）；若 f 在某鄰域上恆為零，1/f 甚至無定義，而 f 的本性奇點也不會變成 1/f 的極點。