零點計數函數（the zero-counting function）
若你想談論一個整函數的零點如何散布，你首先得把它們數出來。零點計數函數就是這個累計：當你把以原點為心、半徑為 r 的圓盤逐漸放大時，n(r) 是迄今落入其中的 f 的零點個數，每個按其重數計算多次。它是一道階梯，每當擴張的圓掃過一個零點，就跳升一階（在 m 階零點處跳升 m）。它把一團零點化為半徑的一個單調上升函數。
有兩個標準版本。樸素計數 n(t) 是滿足 |z| <= t 的零點個數。平滑的、積分過的計數 N(r) 是 (n(t) - n(0)) / t 從 0 到 r 的積分，再加上 n(0) log r——這個平均化的形式自然地出現在詹森公式與內凡林納理論中，因為它更溫和並與對數尺度的增長相匹配。要想像 n(t)：把零點按模遞增排列，|a_1| <= |a_2| <= ...；則 n(t) 等於模不超過 t 的最後一個零點的指標 k。所以 n(t) 在相鄰零點半徑之間保持不變，每當新一層零點被圈入便跳升一階。
計數函數正是詹森公式所界定的精確對象：重排詹森公式給出 N(r) 受 log|f| 在邊界上的平均控制，因而受 log M(r) 控制。結合階的定義，便得到本領域的招牌結果——對有限階 rho 的整函數，n(r) 至多像 r^(rho + epsilon) 那樣增長，所以階限制了零點的密度。要避免的常見混淆：n(r) 按重數計數，所以一個 3 階零點使累計加 3 而非 1；而 n(r) 只告訴你半徑 r 內有多少零點，絕不告訴你它們落在那個圓上的何處。
對 f(z) = sin(pi z)，零點是整數 0、正負 1、正負 2、...。在 |z| <= r 內約有 2r 個，所以 n(r) 大致是 2r，呈線性增長。這與 sin z 的階為 1 相符：零點密度與界 n(r) <= r^(1 + epsilon) 一致。
像 sin(pi z) 這樣的階 1 函數，其零點計數隨 r 線性增長——階限制了密度。
零點一律按重數計算——m 階零點使 n(r) 加 m。而 n(r) 只是計數函數：它知道半徑 r 內有多少零點，卻不知它們的角向位置，所以兩個 n(r) 相同的函數可以有截然不同的零點排布。