詹森公式（Jensen's formula）
/ Jensen -> YEN-sen /
這是使整套值分布理論成為可能的橋樑。一邊站著全純函數的大小，用 log|f| 繞圓的平均來衡量。另一邊站著 f 在該圓內的零點——f 為零之處。乍看兩者似乎毫不相干：f 在邊界上多大，與它在內部何處觸零。詹森公式揭示它們被一個方程剛性地連在一起。|f| 的增長為函數的每個零點付出了一份精確、可清算的代價。
陳述如下：設 f 在閉圓盤 |z| <= r 上全純且 f(0) 不為零，設 a_1, ..., a_n 為其在圓盤內按重數列出的零點。則 log|f(r e^(i theta))| 對 theta 從 0 到 2 pi 的平均等於 log|f(0)| 加上對各零點求和的 log(r / |a_k|)。等價地，(1 / 2 pi) 乘以 log|f(r e^(i theta))| 從 0 到 2 pi 的積分 = log|f(0)| + sum log(r / |a_k|)。每個零點 a_k 貢獻一個正項 log(r / |a_k|)——之所以為正是因為 |a_k| < r——所以零點越多、或越靠近中心，就迫使 log|f| 的邊界平均越大。把這和式改寫成對零點計數函數 n(t) 的積分，便得到 log M 受 n(t)/t dt 的積分控制這個主力不等式。
詹森公式是本領域核心定理背後的引擎：有限階 rho 的整函數不能有太多零點——到半徑 r 為止的零點個數增長不快於 r^(rho + epsilon)。每個阿達馬因式分解、每個內凡林納特徵、每個計數估計，最終都追溯到這一個恆等式。f(0) 不為零的假設是可去的：若 f 在原點有 m 階零點，先提出 z^m，再對剩下的部分套用公式。其深刻內涵是：增長與零點並非互相獨立——你不可能有一個增長緩慢卻零點多得離譜的函數。
取 f(z) = z - a 且 0 < |a| < r，在 a 處有單一零點。詹森公式預測 log|f| 的邊界平均等於 log|f(0)| + log(r/|a|) = log|a| + log(r/|a|) = log r。確實，當 |a| < r 時，log|r e^(i theta) - a| 繞圓的平均恰好是 log r——一個經典的計算。這個單一零點被 log(r/|a|) 這一項完全付清。
一個內部零點使 log|f| 的邊界平均恰好升高 log(r/|a|)——增長為零點買單。
公式要求 f 全純且在圓 |z| = r 上沒有零點（否則邊界積分變得奇異）且 f(0) 不為零；兩者都易於安排。它是精確的等式，而非不等式——每個零點都分毫不差地被計入。