整函數的階（the order of an entire function）
/ order, rho is spelled 'roh' /
整函數的大小天差地遠。多項式幾乎不增長；e^z 增長很快；e^(z^2) 增長得兇猛；e^(e^z) 則無法估量。我們想要一個單一的數，把每個函數安放在這條爆炸性的標尺上。這個數就是階。它回答的問題是：「當我把 f 的增長與一個乾淨的基準 e^(r^rho) 比較時，哪個指數 rho 正好是增長較慢與增長較快的函數之間的分界線？」
基準是雙指數式 e^(r^rho)。整函數 f 的階 rho 是使得 M(r) 最終對每個 epsilon > 0 都被 e^(r^(rho + epsilon)) 從上方界住的最小的數。寫成公式：rho = 當 r 趨於無窮時 log log M(r) / log r 的上極限（limsup）。雙重對數是訣竅——取一次 log 把大小為 e^(r^rho) 的 M(r) 變成 r^rho，再取一次 log 把它變成 rho log r，所以除以 log r 就分離出 rho。算幾個值：每個多項式的階為 0；e^z 的階為 1（因為 M(r) = e^r，log log M(r) = log r，比值為 1）；e^(z^2) 的階為 2；cos(sqrt z)（它是整函數）的階為 1/2。階不必是整數。
階是整函數增長的核心不變量，本領域幾乎每個深刻定理都用它來陳述。有限階是阿達馬因式分解成立的前提，也是零點不能太密的前提；階把 f 的增長直接與其零點的密度聯繫起來。一個誠實的細節：階用上極限定義，所以它捕捉的是最壞、最快的那段增長，而非穩定的增長率；一個函數可以是階 1，卻沿某個半徑序列像 e^r 增長、沿另一些半徑慢得多。
計算 f(z) = e^(z^3) 的階。在使 Re(z^3) = r^3 的射線上 M(r) = e^(r^3)，所以 log M(r) = r^3，log log M(r) = 3 log r，與 log r 的比值為 3。階為 3——恰好是指數中多項式的次數，這正是 f = e^P(z) 的一般規律。
對 f = e^P(z)（P 為多項式），階等於 P 的次數。雙重對數正好剝回到那個指數。
階是上極限，所以它記錄的是曾經發生的最快增長，而非均勻的增長率；同階的兩個函數在不同半徑之間可能行為迥異。而有限階是真正的限制——e^(e^z) 的階為無窮，逃出了整套理論。