最大模函數（the maximum modulus function）

想像你站在一張平面紙的中心，問道：當你沿著每個方向望向恰好距離 r 處時，這片地形在那個圓上達到的最大高度是多少？對於一個整函數 f——在整個平面上全純的函數——這片地形就是 |f(z)|，也就是 f 的大小。把這個問題的答案對每個半徑 r 收集起來，便得到一條單調上升的曲線 M(r)。它是衡量「當你往無窮遠走時，f 變得多大、長得多快」的最簡單的尺。

精確地說，M(r) 是 |f(z)| 在圓 |z| = r 上取的最大值：M(r) = 在 |z| = r 上 |f(z)| 的最大值。由最大模原理，|f| 在整個閉圓盤 |z| <= r 上的最大值也在邊界圓上取得，所以 M(r) 同時也是整個圓盤上的最大值。函數 M(r) 對 r 單調不減，而且除非 f 是常數，它嚴格遞增並趨於無窮。一個小例子：對 f(z) = e^z，我們有 |e^z| = e^x，其中 x 是 z 的實部，當 z = r 為正實數時最大，所以 M(r) = e^r。對 n 次多項式，M(r) 像常數乘以 r^n 那樣增長。

M(r) 是增長理論的基石：f 的階與型都是把 M(r) 與 e^(r^rho) 相比較而定義的。它還滿足一個漂亮的規律——log M(r) 是 log r 的凸函數（這就是阿達馬三圓定理），所以 M 絕不會忽上忽下。唯一要注意的：M(r) 只衡量最壞的那個方向，也就是 |f| 最大的單一方向；它對 f 在其他方向的行為一無所知，在那些方向 f 可能很小甚至為零。用 M(r) 衡量的增長是上輪廓，而非全貌。