阿達馬三圓定理（Hadamard three-circles theorem）
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阿達馬三圓定理是三線定理具旋轉對稱的表親，設在一個環域（兩個同心圓之間的環狀區域）而非帶狀區域中。問題在精神上相同：若你知道一個解析函數在內圓與外圓上能有多大，它在某個中間半徑的圓上能有多大？而答案有同樣優美的凸性：中圓上的最大值在對數尺度下受內外最大值之間的直線內插所控制。
精確地陳述。設 f 在閉環域 r_1 <= |z| <= r_3 上解析，並設 M(r) 為 |f(z)| 在圓 |z| = r 上的最大值。定理說 M(r) 是 log r 的對數凸函數：也就是說，log M(r) 是 log r 的凸函數。作為不等式，對 r_1 <= r_2 <= r_3，M(r_2)^(log(r_3/r_1)) <= M(r_1)^(log(r_3/r_2)) * M(r_3)^(log(r_2/r_1))。證明是換新座標下的三線定理：代入 z = e^w，把環域 r_1 <= |z| <= r_3 變成鉛直帶 log r_1 <= Re w <= log r_3，並把圓變成鉛直線；對數把環域的旋轉對稱捲成帶的平移對稱，其餘交給三線定理。
三圓定理是研究整函數增長的古典工具，也是整函數「階」與「型」的幾何源頭：比較增大圓上的 M(r)，正是衡量函數增長多快的方式。它也出現在逼近論與冪級數估界中。一個讓敘述保持精確的誠實提醒：凸的是 log M(r) 作為 log r 的函數——一個偽裝的雙重對數——而非 M(r) 作為 r 的函數。忘記橫軸上的「log r」是最常見的錯誤。而函數必須在整個閉環域上解析（環內無極點），否則凸性論證便瓦解。
對 f(z) = z^n，|z| = r 上的最大值為 M(r) = r^n，故 log M(r) = n log r——log r 的一條直線，因此平凡地為凸（定理的邊界情形，處處取等號）。要得到貨真價實的不等式，設內圓 r = 1 上 M(1) = 2、外圓 r = 4 上 M(4) = 32，則中圓 r = 2 上的界為 M(2) <= 2^(log(4/2)/log(4/1)) * 32^(log(2/1)/log(4/1)) = 2^(1/2) * 32^(1/2) = 8。
log M(r) 對 log r 為凸；對 z^n 它恰是直線 n log r。
凸的是 log M(r) 對 log r——兩軸都取對數。把 M 對 r 作圖你看不到凸性；把 log M 對 log r 作圖才看得到。標錯軸是典型的錯誤。