弗拉格門-林德勒夫原理（Phragmén-Lindelöf principle）
/ FRAG-men LIN-deh-lurf /
最大模原理是一匹主力馬：若一個解析函數在區域邊界上有界，則它在內部也以同樣的量為界。但它有個漏洞——它需要區域有界（且函數連續延拓到邊界）。在無界區域上，像一條伸向無窮的帶狀或扇形區域，函數原則上可能在遠處爆炸，即使在可見的邊界上保持很小。弗拉格門-林德勒夫原理是一族定理，用來堵住這個漏洞：加上一個適度的額外增長假設，最大原理在無界區域上也能被救回。
論證的形態總是一樣。取一個無界區域（比方一條無限帶或一個扇形），設 f 在其上解析、在邊界上有界，且——關鍵地——當你在區域內走向無窮時增長不快於某受控的速率（對張角 pi/alpha 的扇形，安全速率大致是慢於 exp(|z|^beta) 對某 beta < alpha）。那麼你便可斷定 f 在整個區域上以其邊界界為界。使之奏效的技巧：把 f 乘上一個微小的輔助「阻尼」因子，像 exp(-epsilon z^beta)，它在區域內無窮處衰減、但在邊界上近乎 1，對如今有界的乘積在一個大的截斷區域上套用普通最大原理，再令 epsilon -> 0。增長假設正是讓阻尼因子在無窮處贏得這場競賽的關鍵。
弗拉格門-林德勒夫在解析數論中不可或缺（在帶狀區域中估界黎曼ζ函數與狄利克雷級數）、在傅立葉與拉普拉斯轉換理論中、在內插理論中、以及在任何你必須在無界域上控制解析函數之處。三線定理與三圓定理是它最著名的具體化身。一個誠實且重要的提醒：增長限制不是可有可無的裝飾——它是本質的。沒有它結論便不成立：函數 exp(exp(z)) 在帶 |Im z| <= pi/2 的邊界線上有界（事實上模恆等於 1），卻在內部極度無界。弗拉格門-林德勒夫之所以奏效，正是因為這種怪物般的增長被假設所禁止。
在帶 0 <= Re z <= 1 上，設 f 解析、在兩條邊線上以 M 為界、且在內部增長不快於 exp(|z|^beta)（某 beta < 1）。弗拉格門-林德勒夫斷定 |f(z)| <= M 在整條帶上成立。反例 exp(exp(pi z)) 說明增長上限為何重要：它在某適當帶的邊上有界，卻在內部爆炸，因為它的增長違反了假設。
一個受控增長的假設在無界帶上救回最大原理。
增長假設不可去除，且它與幾何相連：越寬的區域（張角越大）只能容忍越慢的增長。請把區域與它允許的增長速率一併引述——只說其一而不說其二是沒有意義的。