參數變易法的朗斯基公式（Wronskian formulas）
/ VRON-skee-an /
參數變易法附帶兩個現成的公式，這樣你不必每次重新推導。它們直接以齊次解與外力告訴你兩個變動函數 u1 與 u2 的導數。一旦你信任它們，此法幾乎變成機械化：算出朗斯基行列式、代入、積分。
從標準形式 y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)（首項係數為 1）出發，配一組基本解系 y1、y2。朗斯基行列式為 W(x) = y1 y2' - y2 y1'，它衡量 y1 與 y2 的獨立性，在所關注的區間上永不為零。公式為 u1' = -y2 g / W 與 u2' = y1 g / W。積分得 u1 與 u2（積分常數可丟棄，因為它們只是再加上已在 y_c 中的 y1、y2 的倍數），特解為 y_p = u1 y1 + u2 y2。許多書把兩個積分合成單一積分公式 y_p(x) = ∫ [ (y2(t) y1(x) - y1(t) y2(x)) / W(t) ] g(t) dt，這是同一件事的展開寫法。
兩個保險讓這些公式正確。第一，方程必須是首項係數為 1 的標準形式——若 y'' 的係數不是 1，先除，因為公式中的 g 指的是除過之後的右邊。第二，W 必須是真正的基本解系（線性獨立解）的朗斯基行列式，這樣 W 非零；正是這個非零性讓你能用它做除法。具備這些後，公式就是精確的，且不需要對 g 的形狀做任何猜測。
對 y'' - 2y' + y = e^(x)/x，取 y1 = e^(x)，y2 = x e^(x)：W = e^(x)(x e^(x) + e^(x)) - x e^(x) e^(x) = e^(2x)。則 u1' = -x e^(x) (e^(x)/x)/e^(2x) = -1 而 u2' = e^(x)(e^(x)/x)/e^(2x) = 1/x，得 u1 = -x，u2 = ln|x|，所以 y_p = -x e^(x) + x e^(x) ln|x|。
算 W、相除、積分：u1' = -y2 g / W 與 u2' = y1 g / W。
留意負號與配對：是 u1' = -y2 g / W（第二個解，帶負號）與 u2' = +y1 g / W（第一個解）；不知不覺地對調它們是經典的符號錯誤。