朗斯基行列式

朗斯基行列式由若干函数及其各阶导数构成，用作判定这些函数是否线性无关的快捷检验。把这些函数排在第一行，它们的一阶导数排在第二行，二阶导数排在第三行，依此类推；该矩阵在某点求值的行列式就是朗斯基行列式。若它在某处非零，这些函数就不可能满足线性相关关系——这是行列式理论向分析的一次干净引入。

对 (n-1) 次可微的函数 f_1, ..., f_n，W(x) = 第 k 行为 (k-1) 阶导数 [f_1^(k-1)(x), ..., f_n^(k-1)(x)] 的矩阵的行列式。若在哪怕单独一点 x_0 处 W(x_0) != 0，则 f_1, ..., f_n 在其定义域上线性无关。逻辑是直接的：相关式 c_1 f_1 + ... + c_n f_n = 0 恒成立，反复求导便给出齐次线性方程组 A c = 0，其系数矩阵正是朗斯基矩阵；非零行列式迫使 c = 0。

它的主要栖息地是线性微分方程。对单个 n 阶线性常微分方程的解，朗斯基行列式更加锐利：阿贝尔恒等式说它在一个区间上要么恒为零、要么处处不为零，故在一点检验即可判定整个解集的无关性，而非零的朗斯基行列式认证了一个基本解系。

注意：一般而言逆命题不成立。对任意函数，朗斯基为零并不证明相关——存在经典的无关函数对（如 x^2 与 x|x|），其朗斯基恒为零。干净的双向等价仅在线性常微分方程的解（或解析函数）这一特殊且良好的情形下成立。用朗斯基行列式来证明无关；不要用朗斯基为零来断言相关。