范德蒙德行列式

范德蒙德行列式是这样一个矩阵的行列式：其各行是一列数 x_1, ..., x_n 的逐次幂。值得注意的是，它分解为所有两两之差 (x_j - x_i)（取遍 i < j）之积。这一闭式是被引用最多的行列式恒等式之一，也是多项式插值背后的代数引擎。

具体地，范德蒙德矩阵 V 的元素 V_{ij} = x_i^(j-1)，故其各列在每个节点处依次取 1, x, x^2, ..., x^(n-1)。则 det(V) = 取遍所有 i < j 对的 (x_j - x_i) 之积。最干净的看法：det(V) 是关于诸 x 的多项式，当两个节点重合时为零（两行相等使 det = 0），故每个因子 (x_j - x_i) 都必整除它；再核对次数与首项系数即恰好钉住这个乘积。

为何重要：det(V) 非零当且仅当节点 x_1, ..., x_n 两两不同。这一句话说的是插值问题“求唯一一个次数小于 n 且过 n 个给定点的多项式”在 x 坐标各异时总有唯一解——因为求系数就是求解范德蒙德线性方程组，而它恰在行列式非零时可逆。同一事实也认证了 1, x, ..., x^(n-1) 是线性无关的函数。

注意：范德蒙德矩阵是受人喜爱的理论对象，但对大 n 出了名地病态——它的行列式可能极大或极小，数值上求逆来做插值并不稳定。实践中用拉格朗日或牛顿插值公式，它们绕开了构造与求逆 V，同时利用了同样的相异性保证。