變分流形（varifold）

想像你想要一個鬆軟到任何合理曲面序列的極限仍是曲面、不需要定向、且不只記得曲面在哪裡還記得它在每點如何傾斜的「曲面」概念。變分流形正是如此：一個廣義曲面，同時記錄空間中的質量分佈與附在每塊質量上的切平面方向——但沒有定向，故面向相反的薄片不會相消。它是研究僅對面積為臨界（不必極小化）的曲面、以及依平均曲率流演化的曲面的正確物件。

精確地說，R^n 中的一個 k-變分流形是 Grassmann 叢 R^n x G(n, k) 上的一個 Radon 測度，其中 G(n, k) 是過原點的 k 維平面之集合。把它拆開：在空間的每一點，變分流形帶有一個關於可能切 k-平面的測度，故它記錄帶方向的位置。一個整變分流形來自一個帶整數值重數的 k-可求長集——廣義曲面的情形。關鍵運算是第一變分：用一個向量場推動變分流形、量其總質量的變化率；結果是一個線性泛函，當它對所有緊支集場都為零時，變分流形是駐定的——這是「平均曲率為零」的弱形式。更一般地，第一變分若是一個測度，便給出一個廣義平均曲率，而 Allard 正則性定理說一個駐定（或平均曲率有界）的整變分流形，在多數點附近且在密度界下，是一張光滑曲面。因為變分流形忘記定向，質量不能相消：兩張方向相反、上下相疊的薄片質量為 2 而非 0，這正是你在極小極大構造中想要的行為，那裡流會錯誤地相消。

為何用變分流形而非僅用流：流攜帶定向與邊界，對固定邊界的面積極小化是完美的；但對不穩定的臨界曲面（由極小極大／Almgren-Pitts 理論產生的鞍型極小曲面）以及帶手術的平均曲率流（Brakke 流），定向是個累贅、相消是致命的，故無定向的變分流形是正確的場景。誠實的提醒。其一，駐定變分流形不必處處光滑——Allard 正則性僅在一個帶密度為一之界的開稠密集上給出光滑性，而真正的奇異性（三重接合，如肥皂膜網路中）是被允許且預期的；不要假設「駐定」就是「光滑極小曲面」。其二，變分流形的變分理論在一方面比流的弱——沒有好的邊界算子、沒有同調，故變分流形回答「是否存在臨界曲面？」，但流仍是回答「是否存在以此為邊界的面積最小曲面？」的工具。