幾何測度論（geometric measure theory）

假設你想證明在所有張在給定鐵絲上的曲面之中，確實存在一個面積最小的。自然的計畫——取一列極小化的曲面再過渡到極限——會撞牆：漂亮光滑曲面的極限可能是一個皺褶、甚至自相重疊、不再是流形的物件。幾何測度論正是讓你仍能處理這類極限物件的工具箱。它建構了一個在取極限下封閉的彈性「廣義曲面」類，證明極小化者在該類中存在，然後證明這些極小化者除了一個小奇異集外其實是光滑的。它是極小曲面、普拉托問題與大半幾何分析底下的分析基礎。

核心物件是子流形的測度論替身。一個 k-可求長集是一個集合，差一個測度為零的誤差，它是可數多片 C^1 的 k 維曲面之並——即便看起來粗糙，它幾乎處處有定義良好的近似切平面。要攜帶定向與邊界，你使用整流（integral current）：粗略地說，一個 k-流是一個你能在其上積分 k-形式的「曲面」，定義為 k-形式上的連續線性泛函，而整流是支撐在可求長集上、帶整數重數且質量有限的流。邊界算子與外微分對偶（斯托克斯定理成為邊界的定義），而關鍵的分析引擎是 Federer-Fleming 緊性定理：一列質量與邊界質量一致有界的整流有一個收斂到某整流的子列。正是這一個定理使直接法奏效——極小化序列現在在正確的空間中有極限了。變分流形（varifold）是一個平行的無定向版本，同樣追蹤切平面資訊，是駐定（不必極小化）曲面與平均曲率流的自然場景。

為何它重要：GMT 證明面積極小化者的存在（在極大的一般性下解決普拉托問題），然後一套深刻的正則性理論顯示極小化者在一個低維奇異集之外是光滑流形——對面積極小化的超曲面，奇異集的餘維數至少為 7，這正是為何 R^8 中的西蒙斯錐是第一個奇異例子。誠實的提醒。其一，存在性是廉價的（緊性），正則性是昂貴的——極限的光滑性是一個獨立的、困難的定理，且在臨界維數之後確實為假，故「存在一個極小化者」絕不可讀成「存在一個光滑極小化者」。其二，流與變分流形是用於不同工作的不同工具：流攜帶定向與邊界、適合極小化；變分流形無定向、適合駐定與流動的曲面——用錯一個會喪失本質資訊（變分流形看不見相反定向的相消，流可以）。