極小曲面（minimal surface）

把一圈閉合的鐵絲彎成任何形狀，浸入肥皂水中再提起來：黏附在鐵絲上的肥皂膜就是一張極小曲面。表面張力把膜拉成在它被迫張開的邊界上使用盡可能少面積的形狀，所得的形狀正是極小子流形的二維版本。這些是幾何中最美的物件之一——平面、懸鏈面、正螺旋面、薛克曲面（Scherk）、科斯塔曲面（Costa）——也是幾何分析在歷史上的誕生地。

極小曲面是平均曲率為零的二維曲面，H = 0，等價地是主曲率 kappa_1 與 kappa_2 在每一點滿足 kappa_1 + kappa_2 = 0 的曲面（故曲面局部是一個平衡的馬鞍）。定義有幾個值得知道的等價面貌：(1) 它面積臨界，是面積泛函的歐拉-拉格朗日曲面；(2) 寫成圖形 z = u(x, y) 時它滿足極小曲面方程；(3) 在等溫（共形）座標下它的座標函數是調和的，故 R^3 中的極小曲面局部是一條全純曲線的實部——韋爾斯特拉斯-恩內佩爾表示（Weierstrass-Enneper）用一個全純函數與一個亞純函數造出每一張極小曲面。最後這個觀點把極小曲面繫於複分析，這正是其研究如此豐富的原因。

極小曲面的重要性遠超肥皂膜：它們建模極小化能量的界面，是奇異簇結構的試金石，而關於它們存在性的問題（普拉托問題）催生了現代偏微分方程與幾何測度論。誠實的提醒重複子流形的那一條：「極小」=面積臨界，而非面積最小。懸鏈面的一大片是極小的，卻不再極小化——過了某臨界尺寸，肥皂膜寧可斷裂成兩個圓盤。又，極小曲面不必是圖形、甚至不必嵌入；許多最有趣的例子會自相交或有伸向無窮的端。最後，平均曲率的符號約定各家不同，故「H = 0」之所以與約定無關，僅因它是零的情形。