極小曲面方程（minimal-surface equation）

假設你的肥皂膜不做任何花俏的事，而能寫成一個圖形：它在地面上方的高度是函數 z = u(x, y)。那麼「這是一張極小曲面」這個幾何條件，便化成 u 必須滿足的單一、非常具體的偏微分方程。那就是極小曲面方程，它是擬線性橢圓偏微分方程的原型——大多數學生遇到的第一個由幾何主宰分析的非線性方程。

把圖形的面積寫成 Area(u) = 在定義域上的 integral sqrt(1 + |grad u|^2) dx dy，並要求第一變分為零，得到歐拉-拉格朗日方程 div( grad u / sqrt(1 + |grad u|^2) ) = 0。展開後即 (1 + u_y^2) u_xx - 2 u_x u_y u_xy + (1 + u_x^2) u_yy = 0。量 grad u / sqrt(1 + |grad u|^2) 是單位法向量的（向下）分量，故方程實際上是說法向量散度為零——這是 H = 0 的重述。當梯度很小時方程線性化為拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0，這正是為何極小圖形在緩坡區間表現得像調和函數，也是為何如此多的調和函數直覺得以延續。在更高維或彎曲環境度量下用同樣的配方便得到對應的極小圖形方程，始終是擬線性且橢圓的。

這個方程是一匹主力：在指定邊界值的定義域上求解它，就是普拉托問題的圖形版本，而其正則性理論（極小圖形自動光滑、甚至實解析）是橢圓偏微分方程的里程碑。兩個誠實之處。其一，圖形假設是真正的限制——許多極小曲面不是圖形，而強行用圖形形式會隱藏最有趣的全域行為（頸、自相交、多層）。其二，伯恩斯坦定理（Bernstein）說整個 R^2 上的整體極小圖形必為平面，而著名的意外是：這在高維失效——R^n 上的整體極小圖形僅在 n <= 7 時才必為平面，而 R^8 中的邦比耶里-德喬治-朱斯蒂（Bombieri-De Giorgi-Giusti）反例顯示方程的解比二維直覺所暗示的更微妙。